C++Top-K 问题

Question

给定一个长度为 n 无序数组 nums ，请返回数组中前 k 大的元素。

对于该问题，我们先介绍两种思路比较直接的解法，再介绍效率更高的堆解法。

8.3.1   方法一：遍历选择

我们可以进行图 8-6 所示的 k 轮遍历，分别在每轮中提取第 1、2、…、k 大的元素，时间复杂度为 O(nk) 。

此方法只适用于 k≪n 的情况，因为当 k 与 n 比较接近时，其时间复杂度趋向于 O(n²) ，非常耗时。

图 8-6   遍历寻找最大的 k 个元素

Tip

当 k=n 时，我们可以得到完整的有序序列，此时等价于“选择排序”算法。

方法二：排序

如图 8-7 所示，我们可以先对数组 nums 进行排序，再返回最右边的 k 个元素，时间复杂度为 O(nlog⁡n) 。

显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需要找出最大的 k 个元素即可，而不需要排序其他元素。

图 8-7   排序寻找最大的 k 个元素

方法三：堆

我们可以基于堆更加高效地解决 Top-K 问题，流程如图 8-8 所示。

1. 初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小。
2. 先将数组的前 k 个元素依次入堆。
3. 从第 k+1 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆。
4. 遍历完成后，堆中保存的就是最大的 k 个元素。

图 8-8   基于堆寻找最大的 k 个元素

总共执行了n轮入堆和出堆，堆的最大长度为k，因此时间复杂度为O(nlogk)。该方法的效率很高，当k较小时，时间复杂度趋向O(n)；当k较大时，时间复杂度不会超过O(nlogn)。

另外，该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时，我们可以持续维护堆内的元素，从而实现最大k个元素的动态更新。

top_k.cpp

/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> topKHeap(vector<int> &nums, int k) {
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        heap.push(nums[i]);
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for (int i = k; i < nums.size(); i++) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if (nums[i] > heap.top()) {
            heap.pop();
            heap.push(nums[i]);
        }
    }
    return heap;
}