C++二分查找边界

查找左边界

Question

给定一个长度为 n 的有序数组 nums ，数组可能包含重复元素。请返回数组中最左一个元素 target 的索引。若数组中不包含该元素，则返回 −1 。

回忆二分查找插入点的方法，搜索完成后 i 指向最左一个 target ，因此查找插入点本质上是在查找最左一个 target 的索引。

考虑通过查找插入点的函数实现查找左边界。请注意，数组中可能不包含 target ，这种情况可能导致以下两种结果。

• 插入点的索引 i 越界。
• 元素 nums[i] 与 target 不相等。

当遇到以上两种情况时，直接返回 −1 即可。

binary_search_edge.cpp

/* 二分查找最左一个 target */
int binarySearchLeftEdge(vector<int> &nums, int target) {
    // 等价于查找 target 的插入点
    int i = binarySearchInsertion(nums, target);
    // 未找到 target ，返回 -1
    if (i == nums.size() || nums[i] != target) {
        return -1;
    }
    // 找到 target ，返回索引 i
    return i;
}

查找右边界

那么如何查找最右一个 target 呢？最直接的方式是修改代码，替换在 nums[m] == target 情况下的指针收缩操作。代码在此省略，有兴趣的同学可以自行实现。

下面我们介绍两种更加取巧的方法。

1.   复用查找左边界

实际上，我们可以利用查找最左元素的函数来查找最右元素，具体方法为：将查找最右一个 target 转化为查找最左一个 target + 1。

如图 10-7 所示，查找完成后，指针 i 指向最左一个 target + 1（如果存在），而 j 指向最右一个 target ，因此返回 j 即可。

图 10-7   将查找右边界转化为查找左边界

binary_search_edge.cpp

/* 二分查找最右一个 target */
int binarySearchRightEdge(vector<int> &nums, int target) {
    // 转化为查找最左一个 target + 1
    int i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
    // j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
    int j = i - 1;
    // 未找到 target ，返回 -1
    if (j == -1 || nums[j] != target) {
        return -1;
    }
    // 找到 target ，返回索引 j
    return j;
}

转化为查找元素

我们知道，当数组不包含 target 时，最终 i 和 j 会分别指向首个大于、小于 target 的元素。

因此，如图 10-8 所示，我们可以构造一个数组中不存在的元素，用于查找左右边界。

• 查找最左一个 target ：可以转化为查找 target - 0.5 ，并返回指针 i 。
• 查找最右一个 target ：可以转化为查找 target + 0.5 ，并返回指针 j 。

图 10-8   将查找边界转化为查找元素

代码在此省略，值得注意以下两点。

• 给定数组不包含小数，这意味着我们无须关心如何处理相等的情况。
• 因为该方法引入了小数，所以需要将函数中的变量 target 改为浮点数类型。