C++最大切分乘积问题

图 15-13   最大切分乘积的问题定义

假设我们将 $n$ 切分为 $m$ 个整数因子，其中第 $i$ 个因子记为 $n_i$ ，即

本题目标是求得所有整数因子的最大乘积，即

我们需要思考的是：切分数量 $m$ 应该多大，每个 $n_i$ 应该是多少？

1.   贪心策略确定

根据经验，两个整数的乘积往往比它们的加和更大。假设从 $n$ 中分出一个因子 $2$ ，则它们的乘积为 $2(n-2)$ 。我们将该乘积与 $n$ 作比较：

如图 15-14 所示，当 $n\ge 4$ 时，切分出一个 $2$ 后乘积会变大，这说明大于等于 $4$ 的整数都应该被切分。

贪心策略一：如果切分方案中包含 $\ge 4$ 的因子，那么它就应该被继续切分。最终的切分方案只应出现 $1$、$2$、$3$ 这三种因子。

图 15-14   切分导致乘积变大

接下来思考哪个因子是最优的。在 $1$、$2$、$3$ 这三个因子中，显然 $1$ 是最差的，因为 $1\times (n-1)<n$ 恒成立，即切分出 $1$ 反而会导致乘积减小。

如图 15-15 所示，当 $n=6$ 时，有 $3\times 3>2\times 2\times 2$ 。这意味着切分出 $3$ 比切分出 $2$ 更优。

贪心策略二：在切分方案中，最多只应存在两个 $2$ 。因为三个 $2$ 总是可以被替换为两个 $3$ ，从而获得更大乘积。

图 15-15   最优切分因子

总结以上，可推出以下贪心策略。

1. 输入整数 $n$ ，从其不断地切分出因子 $3$ ，直至余数为 $0$、$1$、$2$ 。
2. 当余数为 $0$ 时，代表 $n$ 是 $3$ 的倍数，因此不做任何处理。
3. 当余数为 $2$ 时，不继续划分，保留之。
4. 当余数为 $1$ 时，由于 $2\times 2>1\times 3$ ，因此应将最后一个 $3$ 替换为 $2$ 。

2.   代码实现

如图 15-16 所示，我们无须通过循环来切分整数，而可以利用向下整除运算得到 $3$ 的个数 $a$ ，用取模运算得到余数 $b$ ，此时有：

请注意，对于 $n\le 3$ 的边界情况，必须拆分出一个 $1$ ，乘积为 $1\times (n-1)$ 。

max_product_cutting.cpp

/* 最大切分乘积：贪心 */
int maxProductCutting(int n) {
    // 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
    if (n <= 3) {
        return 1 * (n - 1);
    }
    // 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
    int a = n / 3;
    int b = n % 3;
    if (b == 1) {
        // 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
        return (int)pow(3, a - 1) * 2 * 2;
    }
    if (b == 2) {
        // 当余数为 2 时，不做处理
        return (int)pow(3, a) * 2;
    }
    // 当余数为 0 时，不做处理
    return (int)pow(3, a);
}

图 15-16   最大切分乘积的计算方法

时间复杂度取决于编程语言的幂运算的实现方法。以 Python 为例，常用的幂计算函数有三种。

• 运算符 ** 和函数 pow() 的时间复杂度均为 $O(\log a)$ 。
• 函数 math.pow() 内部调用 C 语言库的 pow() 函数，其执行浮点取幂，时间复杂度为 $O(1)$ 。

变量 $a$ 和 $b$ 使用常数大小的额外空间，因此空间复杂度为 $O(1)$ 。

3.   正确性证明

使用反证法，只分析 $n\ge 3$ 的情况。

1. 所有因子 $\le 3$ ：假设最优切分方案中存在 $\ge 4$ 的因子 $x$ ，那么一定可以将其继续划分为 $2(x-2)$ ，从而获得更大的乘积。这与假设矛盾。
2. 切分方案不包含 $1$ ：假设最优切分方案中存在一个因子 $1$ ，那么它一定可以合并入另外一个因子中，以获取更大乘积。这与假设矛盾。
3. 切分方案最多包含两个 $2$ ：假设最优切分方案中包含三个 $2$ ，那么一定可以替换为两个 $3$ ，乘积更大。这与假设矛盾。