C++建堆操作

在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为“建堆操作”。

借助入堆操作实现

我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。

每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是“自上而下”地构建的。

设元素数量为 n ，每个元素的入堆操作使用 O(log⁡n) 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 O(nlog⁡n) 。

通过遍历堆化实现

实际上，我们可以实现一种更为高效的建堆方法，共分为两步。

1. 将列表所有元素原封不动添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。
2. 倒序遍历堆（即层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。

每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆。而由于是倒序遍历，因此堆是“自下而上”地被构建的。

之所以选择倒序遍历，是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的。

值得说明的是，叶节点没有子节点，天然就是合法的子堆，因此无需堆化。如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化。

my_heap.cpp

/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(vector<int> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = nums;
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}

复杂度分析

下面，我们来尝试推算第二种建堆方法的时间复杂度。

• 假设完全二叉树的节点数量为 n ，则叶节点数量为 (n+1)/2 ，其中 / 为向下整除。因此需要堆化的节点数量为 (n−1)/2 。
• 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 log⁡n 。

将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 O(nlog⁡n) 。但这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质。

接下来我们来进行更为准确的计算。为了减小计算难度，假设给定一个节点数量为 n ，高度为 ℎ 的“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。

图 8-5   完美二叉树的各层节点数量

如图 8-5 所示，节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”。因此，我们可以将各层的“节点数量  $\times$  节点高度”求和，从而得到所有节点的堆化迭代次数的总和。

$$\mathrm{<br>} \[ T(h)=2^{0}h+2^1(h-1)+2^2(h-2)+\cdots +2^{(h-1)}\times 1 \]\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}$$ 化简上式需要借助中学的数列知识，先对  $T\left(ℎ\right)$  乘以  $2$  ，得到：

$$\begin{array}{rl}T(h)& =2^{0}h+2^1(h-1)+2^2(h-2)+\cdots +2^{h-1}\times 1\\ 2T(h)& =2^{1}h+2^2(h-1)+2^3(h-2)+\cdots +2^h\times 1\end{array}$$

使用错位相减法，用下式  $2T\left(ℎ\right)$  减去上式  $T\left(ℎ\right)$  ，可得：

$$2T(h)-T(h)=T(h)=-2^{0}h+2^1+2^2+\cdots +2^{h-1}+2^h$$

观察上式，发现  $T\left(ℎ\right)$  是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为：

$$\begin{array}{rl}T(h)& =2\frac{1-2^h}{1-2}-h\\ & =2^{h+1}-h-2\\ & =O(2^h)\end{array}$$

进一步地，高度为 $ℎ$ 的完美二叉树的节点数量为 $n=2^{ℎ+1}-1$ ，易得复杂度为 $O\left(2^{ℎ}\right)=O\left(n\right)$ 。以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为 $O\left(n\right)$ ，非常高效。