C++插入排序

「插入排序 insertion sort」是一种简单的排序算法，它的工作原理与手动整理一副牌的过程非常相似。

具体来说，我们在未排序区间选择一个基准元素，将该元素与其左侧已排序区间的元素逐一比较大小，并将该元素插入到正确的位置。

图 11-6 展示了数组插入元素的操作流程。设基准元素为 base ，我们需要将从目标索引到 base 之间的所有元素向右移动一位，然后再将 base 赋值给目标索引。

图 11-6   单次插入操作

算法流程

插入排序的整体流程如图 11-7 所示。

1. 初始状态下，数组的第 1 个元素已完成排序。
2. 选取数组的第 2 个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，数组的前 2 个元素已排序。
3. 选取第 3 个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，数组的前 3 个元素已排序。
4. 以此类推，在最后一轮中，选取最后一个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，所有元素均已排序。

图 11-7   插入排序流程

insertion_sort.cpp

/* 插入排序 */
void insertionSort(vector<int> &nums) {
    // 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
    for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
        int base = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置
    }
}

算法特性

• 时间复杂度 $O(n^2)$、自适应排序：最差情况下，每次插入操作分别需要循环 $n-1$ 、$n-2$、 $\dots$ 、$2$、 $1$ 次，求和得到 $(n-1)n/2$ ，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。在遇到有序数据时，插入操作会提前终止。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 $O(n)$ 。
• 空间复杂度 $O(1)$、原地排序：指针 $i$ 和 $j$ 使用常数大小的额外空间。
• 稳定排序：在插入操作过程中，我们会将元素插入到相等元素的右侧，不会改变它们的顺序。

插入排序优势

插入排序的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，而我们即将学习的快速排序的时间复杂度为 $O(n\log n)$ 。尽管插入排序的时间复杂度相比快速排序更高，但在数据量较小的情况下，插入排序通常更快。

这个结论与线性查找和二分查找的适用情况的结论类似。快速排序这类 $O(n\log n)$ 的算法属于基于分治的排序算法，往往包含更多单元计算操作。而在数据量较小时，$n^2$ 和 $n\log n$ 的数值比较接近，复杂度不占主导作用；每轮中的单元操作数量起到决定性因素。

实际上，许多编程语言（例如 Java）的内置排序函数都采用了插入排序，大致思路为：对于长数组，采用基于分治的排序算法，例如快速排序；对于短数组，直接使用插入排序。

虽然冒泡排序、选择排序和插入排序的时间复杂度都为 O(n²) ，但在实际情况中，插入排序的使用频率显著高于冒泡排序和选择排序，主要有以下原因。

• 冒泡排序基于元素交换实现，需要借助一个临时变量，共涉及 3 个单元操作；插入排序基于元素赋值实现，仅需 1 个单元操作。因此，冒泡排序的计算开销通常比插入排序更高。
• 选择排序在任何情况下的时间复杂度都为 O(n²) 。如果给定一组部分有序的数据，插入排序通常比选择排序效率更高。
• 选择排序不稳定，无法应用于多级排序。