密码学 模运算

取模运算（“Modulus Operation”）

它和取余运算（“Remainder Operation ”）两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。取模主要是用于计算机术语中。取余则更多是数学概念。 模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。

“模”是指一个计量系统的计数范围；如时钟，12个整点为计算范围，则模为12；计算机也是一个计量机器，模为32位或者64位；

32位计算机正常理解 在模 范围内能表达的 有 [0, 2³²-1]；那么负数该怎么表达呢，所以出现了补码；也就是 正数 + 负数 正好达到模的溢出阀值2³²；所以在计算机中负数是用补码方式表达的原因；

关于补码的例子：在12模的时钟中；假设当前时针指向10点,而准确时间是6点,调整时间可有以下两种拨法

• 倒拨4小时,即：10-4=6 (10-4) mod 12 = 6
• 顺拨8小时：10+8=12+6=6 （10+8）mod 12 = 6

在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的；因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中11和1、10和2、9和3、7和5、6和6都有这个特性；共同的特点是两者相加等于模

“取模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数(取模)；任何有模的计量器，均可化为加减法运算

5 mod 3 = 2 例子中；模 为 3；2 为取模的值

取模和取余的区别

1.相同

假设有整数a和b，那么取模/取余运算可以分为两步运算：

求整数商：c = a/b; 计算模/余数：2.计算模或者余数： r = a - c*b.

2.不同

取余运算 在计算商值时 商值向0方向舍入；靠近0原则 取模运算 在计算商值时 商值向负无穷方向舍入；尽可能让商值小的原则(不超多商值的最大值)

求模运算和求余运算在第一步不同: 取余运算在取c的值时，向0 方向舍入(fix()函数)；而取模运算在计算c的值时，向负无穷方向舍入(floor()函数)。

例子

取模

简述	商值		取模值
5 mod 3 = 2	5/3 = 1.66商取小原则 商=1	5 - 3 * 1 = 2	2
-5 mod 3 = 1	-5/3 = -1.66 商取小原则 商=-2	-5 - (3 * -2) = 1	1
5 mod -3 = -1	5/-3 = -1.66 商取小原则 商=-2	5 - (-3 * -2) = -1	-1
-5 mod -3 = -2	-5/-3 = 1.66 商取小原则 商=1	-5 - (-3 * 1) = 2	-2

取余

简述	商值		取余值
5 rem 3 = 2	5/3 = 1.66	商靠0原则 商=1	5 - 3 * 1 = 2  2
-5 rem 3 = -2	-5/3 = -1.66 商靠0原则 商=-1	-5 - (3 * -1) = - 2	-2
5 rem -3 = 2	5/-3 = -1.66 商靠0原则 商=-1	5 - (-3 * -1) = 2	2
-5 rem -3 = -2 -	5/-3 = 1.66 商靠0原则 商=1	-5 - (-3 * 1) = - 2	-2

java 中 % 是取余运算；Python中 % 是取模运算

Python代码

## 取模，Python中可直接用%，计算模，r = a % b
def mod(a, b):
    c = a // b
    r = a - c * b
    return r


## 取余
def rem(a, b):
    c = int(a / b)
    r = a - c * b
    return r
x=mod(-5,3)
y=rem(-5,3)
print(x,y)

输出结果 1 -2