密码学 希尔密码

简介

希尔密码（Hill Cipher）是运用基本矩阵论原理的替换密码，由Lester S. Hill在1929年发明。每个字母当作26进制数字：A=0, B=1, C=2... 一串字母当成n维向量，跟一个n×n的矩阵相乘，再将得出的结果MOD26。

解析

对于密码体制的五元组（P, C, K, E, D）有 P=C=(Z26)m，m是一个不小于2的正整数

• K是定义在Z26上的m×m可逆矩阵的集合
• 取密钥k∈K，k为一个m×m矩阵，记为(kij)，对 x=(x1,x2,...,xm)∈P, y= (y1,y2,...,ym)∈C，定义
  • ek(x)=xk
  • dk(y)=yk-1  k-1表示k的逆矩阵
• 以上运算均在Z26上运行(模26)

例题

题目

在线代的课本上出现了一堆神秘字母

dloguszijluswogany

而旁边的矩阵是

1 2 0 1

快找出flag吧

key格式:simCTF{}

解答

1.求矩阵M= 1 2 0 1 的逆矩阵 即 M^-1= 1 -2 0 1

求逆矩阵方法：
1、伴随矩阵：伴随矩阵是矩阵元素所对应的代数余子式，所构成的矩阵，转置后得到的新矩阵。
2、初等变换：写出增广矩阵A|E，即矩阵M右侧放置一个同阶的单位矩阵，得到一个新矩阵。然后进行初等行变换，将增广矩阵的左侧变换为一个同阶单位矩阵，这时右侧为所求M的逆矩阵。

2、根据字母表顺序将密文换成矩阵数值

d	l	o	g	u	s	z	i	j	l		u	s	w	o	g	a	n	y
4	12	15	7	21	19	26	9	10	12	21	19	23	15	7	1	14	25

3、将密钥的逆矩阵与密文变换成的矩阵做乘运算

4、将得到的矩阵mod26

5.可求明文：flagis hillissoeasy所以simCTF{hillissoeapy}

实现

使用numpy库的矩阵对象，可以十分方便地进行矩阵乘法，矩阵求逆和取模等运算。

import numpy as np


m = 'YOURPINNOISFOURONETWOSIX'  #明文
a = np.matrix([[11,2,19],[5,23,25],[20,7,17]])  #密钥LCTFXZUHR
num_m = []
temp = []
count = 1
for i in m:  #将明文分为三个一组
    temp.append(ord(i)-ord('A'))
    if count % 3 == 0:
        num_m.append(temp)
        temp = []
    count += 1
mat_m = [np.matrix(i).T for i in num_m]  #将明文分组转换为向量形式
mat_c = [a * i % 26 for i in mat_m]  #得到密文分组的向量形式
num_c = []
temp = []
for i in mat_c:  #将密文向量转换为列表形式，且合并到一个列表
    temp = i.tolist()
    for j in range(3):
        num_c.append(temp[j][0])
c = [chr(i+ord('A')) for i in num_c]
print(''.join(c))  #连接成字符串,输出密文