粗略估算

粗略估算

这一章讲述了估算技术，我认为是相当有用的一章。

文中先抛出一个问题：密西西比河一天流出多少水？如果让你来回答， 你会怎么答，注意不能去Google哦。

作者是这么回答这个问题：假设河的出口大约有1英里宽和20英尺深(1/250英里)， 而河水的流速是每小时5英里，也就是每天120英里。则可以计算出一天的流量：

1英里 * 1/250英里 * 120英里/天  约等于  1/2 英里^3/天

上述算式非常简单，可是在看到这些文字之前，如果有人真的问你， 密西西比河一天流出多少水？你真的能答上来吗？还是愣了一下后，摆摆手，说： 这我哪知道！

对于上面的问题，我们至少可以注意到以下两点：

1. 你需要把问题转换成一个可计算的具体模型。这一点往往不需要太担心， 因为我们做的是估算，所以可以忽视很多无关紧要的因素，可以去简化你的模型， 记住我们要的只是一个粗略计算的结果。比如对于上面的问题， 计算密西西比河一天流出多少水其实就是计算其一天的流量，利用中学所学知识， 流量 = 截面积 x 流速，那我们就只需计算密西西比河的出水口的截面积和流速即可。 我们可以将出水口简化成一个矩形，因此就只需要知道出水口的宽和深即可。

2. 你需要知道常识性的东西。上面我们已经把问题转换成了一个可计算的具体模型： 流量 = 出水口宽 x 出水口深 x 流速。接下来呢？你需要代入具体的数值去求得答案。 而这就需要你具备一些常识性的知识了。比如作者就估计了密西西比河的出口有1英里宽， 20英尺深(如果你估计只有几十米宽，那就相差得太离谱了)。 这些常识性的知识比第1点更值得关注，因为你无法给出一个靠谱的估算值往往是因为这点。

当我们懂得如何把一个问题具体化定义出来并为其选用适当的模型， 并且我们也积累了必要的常识性的知识后，回答那些初看起来无从下手的问题也就不难了。 这就是估算的力量。

以下是估算时的一些有用提示：

• 两个答案比一个答案好。即鼓励你从多个角度去对一个问题进行估算， 如果从不同角度得到的答案差别都不大，说明这个估算值是比较靠谱的。

• 快速检验。即量纲检验。即等式两边最终的量纲要一致。 这一点在等式简单的时候相当显而易见。比如位移的单位是米，时间单位是秒， 速度单位是米/秒，那显然我们应该要用位移去除以时间来得到速度， 这样才能保证它们单位的一致。你可能会说，我了个去，这种小学生都懂的事， 你好意思拿出来讲。其实不然，当你面对的是一个具有多个变量的复杂物理公式， 或者你提出某种物理假设，正在考虑将其公式化，该方法可以切切实实地帮你做出检验。

• 经验法则。“72法则”：1.假设以年利率r%投资一笔钱y年，如果r*y = 72， 那么你的投资差不多会翻倍。2.如果一个盘子里的菌群以每小时3%的速率增长， 那么其数量每天(24小时)都会翻倍。在误差不超过千分之五的情况下， \pi秒就是一个纳世纪。也就是说：

  3.14秒 = 10-9 * 100年 = 10-7 年

也就是说，1年大概是3.14x107 秒。所以如果有人告诉你，一个程序运行107 秒， 你应该能很快反应出，他说的其实是4个月。

• 实践。与许多其他活动一样，估算技巧只能通过实践来提高。

如果问题的规模太大，我们还可以通过求解它的小规模同质问题来做估算。比如， 我们想测试某个程序运行10亿次需要多长时间，如果你真去跑10亿次， 说不定运行几个小时都没结束，那不是很悲剧？我们可以运行这个程序1万次或是10万次， 得出结果然后倍增它即可。当然，这个结果未必是准确的， 因为你没法保证运行时间是随着运行次数线性增加的。谨慎起见，我们可以运行不同的次数， 来观察它的变化趋势。比如运行10次，100次，1000次，10000次等， 观察它的运行时间是否是线性增加的，或是一条二次曲线。

有时候，我们需要为估算的结果乘上一个安全系数。比如， 我们预估完成某项功能需要时间t，那根据以往经验，也许我们需要为这个值乘上2或4， 这样也许才是一个靠谱的预估值。

Little定律：系统中物体的平均数量等于物体离开系统的平均速率和每个物体在系统中停留 的平均时间的乘积。(如果物体离开和进入系统的总体出入流是平衡的， 那么离开速率也就是进入速率)

举个例子，比如你正在排除等待进入一个火爆的夜总会， 你可以通过估计人们进入的速率来了解自己还要等待多长时间。根据Little定律， 你可以推论：这个地方可以容纳约60人，每个人在里面逗留时间大约是3小时， 因此我们进入夜总会的速率大概是每小时20人。现在队伍中我们前面还有20人， 也就意味着我们还要等待大约一个小时。

深入阅读：Darrell Huff的《How To Lie With Statistics》；关键词： 费米近似(Fermi estimate, Fermi problem)