Julia 线性代数

由  创建, 最后一次修改 2016-08-12

线性代数

矩阵分解

矩阵分解是将一个矩阵分解为数个矩阵的乘积,是线性代数中的一个核心概念。

下面的表格总结了在 Julia 中实现的几种矩阵分解方式。具体的函数可以参考标准库文档的 Linear Algebra章节。

Cholesky Cholesky 分解
CholeskyPivoted 主元 Cholesky 分解
LU LU 分解
LUTridiagonal 三对角矩阵的 LU 因子分解
UmfpackLU 稀疏矩阵的 LU 分解(使用 UMFPACK 计算)
QR QR 分解
QRCompactWY QR 分解的紧凑 WY 形式
QRPivoted 主元 QR 分解
Hessenberg Hessenberg 分解
Eigen 特征分解
SVD 奇异值分解
GeneralizedSVD 广义奇异值分解

特殊矩阵

线性代数中经常碰到带有对称性结构的特殊矩阵,这些矩阵经常和矩阵分解联系到一起。Julia 内置了非常丰富的特殊矩阵类型,可以快速地对特殊矩阵进行特定的操作.

下面的表格总结了 Julia 中特殊的矩阵类型,其中也包含了 LAPACK 中的一些已经优化过的运算。

Hermitian 埃尔米特矩阵
Triangular 上/下三角矩阵
Tridiagonal 三对角矩阵
SymTridiagonal 对称三对角矩
Bidiagonal 上/下双对角矩阵
Diagonal 对角矩阵
UniformScaling 缩放矩阵

基本运算

矩阵类型 + - * \ 其它已优化的函数
Hermitian XY inv, sqrtm, expm
Triangular XY XY inv, det
SymTridiagonal X X XZ XY eigmax/min
Tridiagonal X X XZ XY
Bidiagonal X X XZ XY
Diagnoal X X XY XY inv, det, logdet, /
UniformScaling X X XYZ XYZ /

图例:

X 已对矩阵-矩阵运算优化
Y 已对矩阵-向量运算优化
Z 已对矩阵-标量运算优化

矩阵分解

矩阵类型 LAPACK eig eigvals eigvecs svd svdvals
Hermitian HE ABC
Triangular TR
SymTridiagonal ST A ABC AD
Tridiagonal GT
Bidiagonal BD A A
Diagonal DI A

图例:

A 已对寻找特征值和/或特征向量优化 例如 eigvals(M)
B 已对寻找 ilth 到 ihth 特征值优化 eigvals(M, il, ih)
C 已对寻找在 [vl, vh] 之间的特征值优化 eigvals(M, vl, vh)
D 已对寻找特征值 x=[x1, x2,...] 所对应的特征向量优化 eigvecs(M, x)

缩放运算

一个 UniformScaling 运算符代表了一个单位算子的标量次数, λ*I。单位算子 I 被定义为一个常量且是 UniformScaling 的一个实例。 这些运算符的尺寸是一般大小,可匹配 +,-,*\ 等其它二元运算符中的矩阵。对于 A+IA-I 这意味着 A 必须是一个方阵. 使用了单位算子 I 的乘法运算是一个空操作(除非缩放因子为一) ,因此基本没有开销。

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